3.5 不等式证明

1．证明下列不等式．
（1）当 $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$ 时，$\displaystyle \frac{2}{\pi} x<\sin x<x$ 。
（2）当 $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$ 时， $\displaystyle \sin x<x-\frac{1}{3 \pi} x^{3}$ ．
（3）当 $\displaystyle x>0$ 时，$\displaystyle x>\sin x>x-\frac{x^{3}}{3!}$ 。
（4）当 $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$ 时， $\displaystyle \tan x>x+\frac{x^{3}}{3}$ 或 $\displaystyle \tan x>x-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{3} x^{3}$ ．
（5）当 $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$ 时，$\displaystyle \frac{\tan x}{x}>\frac{x}{\sin x}$ ．
（6）当 $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$ 时， $\displaystyle \tan x+2 \sin x>3 x$ 或 $\displaystyle \frac{1}{3} \tan x+\frac{2}{3} \sin x>x$ 。
（7）当 $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$ 时， $\displaystyle \tan x+\sin x>2 x$ 。
（8）当 $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$ 时，$\displaystyle \sqrt{1+\frac{x^{4}}{4}}-\frac{x^{2}}{2}>\cos x, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ．
（9）当 $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$ 时，$\displaystyle \frac{\cos x}{1+\sin x}<\frac{\ln (1+\sin x)}{x}$ ．
（10） $\displaystyle \cos x+\sin x>1+x-x^{2}, x \in(0,+\infty)$ ．

2．证明下列不等式．
（1）$\displaystyle \frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x, x>0$ 。聊城大学2008，南京理工 2010，哈工大 2009，曲阜师大 2005，湘潭 大学 2008，上海大学 2003）
（2）$\displaystyle \frac{1}{1+x}<\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)<\frac{1}{x}, x>0$ 。
（3） $\displaystyle 0<\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}<1, x>0$ ．
（4） $\displaystyle 0<\frac{1}{x}+\frac{1}{\ln (1-x)}<1, x<0$ ．

3．证明下列不等式．
（1）当 $\displaystyle x \geqslant 0$ 时， $\displaystyle \ln (1+x)<\frac{x}{\sqrt{1+x}}$ ．
（2）当 $\displaystyle x \geqslant 0$ 时，$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x(x+1)}}>\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$ 或 $\displaystyle \ln ^{2}\left(1+\frac{1}{x}\right)<\frac{1}{x(1+x)}$ ．
（3）当 $\displaystyle 0<x<1$ 时，$\displaystyle (1+x) \ln ^{2}(1+x)<x^{2}$ 。
（4）当 $\displaystyle x \geqslant 0$ 时， $\displaystyle \ln (1+x)<\sqrt{x}$ ．

4．证明下列不等式．
（1） $\displaystyle \arctan x+\frac{1}{x}>\frac{\pi}{2}, x>0$ 。
（2） $\displaystyle \ln (1+x)<x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}, x>0$ ．
（3）$\displaystyle x-\frac{x^{2}}{2}<\ln (1+x)<x-\frac{x^{2}}{2(1+x)}, x>0$ 。

5．证明下列不等式．
（1） $\displaystyle 2 x \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)<1+\frac{x}{1+x}, x>0$ ．
（2） $\displaystyle 1+x \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)>\sqrt{1+x^{2}}, x \neq 0$ ．
（3）$\displaystyle \left(x^{2}-1\right) \ln x \geqslant(x-1)^{2}, x>0$ ．

6．证明下列不等式．
（1）$\displaystyle \frac{1-x}{1+x}<\mathrm{e}^{-2 x}$ 或 $\displaystyle \ln \frac{1+x}{1-x}>2 x,(0<x<1)$ ．
（2） $\displaystyle \ln (1+x)>\frac{\arctan x}{1+x},(x>0)$ ．
（3）$\displaystyle \frac{1}{\sin ^{2} x} \leqslant \frac{1}{x^{2}}+1-\frac{4}{\pi^{2}},\left(0<x \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ ．
（4） $\displaystyle 0<\frac{x}{2} \ln \frac{x+1}{x-1}-1<\frac{1}{3\left(x^{2}-1\right)},(x>1)$ ．
（5） $\displaystyle \mathrm{e}^{x}>1+(1+x) \ln (1+x),(x>0)$ ．

7．证明下列不等式．
（1）$\displaystyle \frac{\ln (1+x)}{\ln x}>\frac{x}{1+x},(x>1)$ ．
（2）$\displaystyle (a+1)^{\ln b}>(b+1)^{\ln a} \cdot(1<a<b)$ ．

8．证明下列不等式．
（1）$\displaystyle \left(\frac{a+1}{b+1}\right)^{b+1} \geqslant\left(\frac{a}{b}\right)^{b}, a>0, b>0$ ．
（2）$\displaystyle a^{b^{\circ}}>b^{a^{A}}(a>b>1)$ ．

9．若 $\displaystyle 0<x<y<1$ 或 $\displaystyle 1<x<y$ ，证明：$\displaystyle \frac{y}{x}>\frac{y^{x}}{x^{y}}$ ．

10．证明不等式 $\displaystyle \mathrm{e}^{y}+x \ln x-x-x y \geqslant 0, x \geqslant 1, y \geqslant 0$ ．

11．证明当 $\displaystyle \mathrm{e}<a<b$ 时 $\displaystyle a^{b}>b^{a}$ ，并由此比较下列大小。
（1）$\displaystyle (\sqrt{n})^{\sqrt{n+1}}$ 与 $\displaystyle (\sqrt{n+1})^{\sqrt{n}}, n>8$ ．
（2）$\displaystyle \pi^{\mathrm{e}}$ 与 $\displaystyle \mathrm{e}^{\pi}$ ．

12．确定 $\displaystyle A$ 最小正数，使不等式成立： $\displaystyle \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) \leqslant A\left(x^{2}+y^{2}\right), \forall x>0, y>0$ 。

13．证明下列不等式．
（1）$\displaystyle \frac{\tan x_{2}}{x_{2}}>\frac{\tan x_{1}}{x_{1}}, x_{2}>x_{1}>0$ 。
（2）$\displaystyle \frac{\sin x_{1}}{\sin x_{2}}>\frac{x_{1}}{x_{2}}, \pi>x_{2}>x_{1}>0$ 。
（3）$\displaystyle \frac{\mathrm{e}^{a}-\mathrm{e}^{b}}{a-b}<\frac{\mathrm{e}^{a}+\mathrm{e}^{b}}{2},(a \neq b)$.
（4）$\displaystyle \frac{2}{a+b}<\frac{\ln a-\ln b}{a-b}<\frac{1}{\sqrt{a b}}, a, b>0, a \neq b$ ．
（5）对 $\displaystyle \forall a, b \in \mathbf{R}, \frac{|a+b|}{1+|a+b|} \leqslant \frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|}$ 。
（6）$\displaystyle \frac{\sin (\alpha+\beta)}{1+\sin (\alpha+\beta)} \leqslant \frac{\sin \alpha}{1+\sin \alpha}+\frac{\sin \beta}{1+\sin \beta}, \alpha, \beta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ．

14．证明下列不等式．
（1）$\displaystyle \frac{a-b}{a}<\ln \frac{a}{b}<\frac{a-b}{b}, 0<b<a$ ．
（2）$\displaystyle \frac{b-a}{b^{2}+1}<\arctan b-\arctan a<\frac{b-a}{a^{2}+1}, 0<a<b$ ．
（3） $\displaystyle \ln ^{2} b-\ln ^{2} a>\frac{4}{\mathrm{e}^{2}}(b-a), \mathrm{e}<a<b<\mathrm{e}^{2}$ 。

15．证明下列不等式．
（1）$\displaystyle \left|\mathrm{e}^{t}-1-t\right| \leqslant t^{2},|t| \leqslant 1$ ．
（2） $\displaystyle 2^{x} \geqslant 1+x^{2}, x \in[0,1]$ ．
（3） $\displaystyle \mathrm{e}^{x}-1>(1+x) \ln (1+x), x>0$ ．
（4）设 $\displaystyle p$ 为常数，$\displaystyle p>\ln 2-1$ ．证明：当 $\displaystyle x \in(0,+\infty)$ 时，不等式 $\displaystyle x^{2}-2 p x+1<\mathrm{e}^{x}$ 成立．
（5）设常数 $\displaystyle p>\mathrm{e}$ 。证明：当 $\displaystyle x \in(0,+\infty)$ 时不等式 $\displaystyle p \mathrm{e}^{-x}+x^{2}-x>1$ 成立．

16．已知不等式 $\displaystyle A \mathrm{e}^{-x}+x^{2}-x \geqslant 1$ 对一切 $\displaystyle x \in(1,+\infty)$ 成立，求常数 $\displaystyle A$ 的取值范围．

17．证明下列不等式．
（1）设 $\displaystyle p>1, q>1, \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ 。证明：$\displaystyle x^{\frac{1}{p}} \leqslant \frac{1}{p} x+\frac{1}{q},(\forall x>0)$ ，并证明当且仅当 $\displaystyle x=1$ 时等式成立．
（2）设 $\displaystyle p>1, q>1, \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ，证明：对 $\displaystyle \forall x>0, \frac{1}{p} x^{p}+\frac{1}{q} \geqslant x$ 。
（3）证明：对 $\displaystyle \forall x>0,0<p<1, x^{p}-p x \leqslant 1-p$ ．

18．证明不等式 $\displaystyle \frac{1}{2^{p-1}} \leqslant x^{p}+(1-x)^{p} \leqslant 1,0 \leqslant x \leqslant 1, p \geqslant 1$ ．

19．证明下列不等式：
（1）证明：（1）$\displaystyle x^{n}(1-x)<\frac{1}{n \mathrm{e}},\left(0<x<1, n \in \mathbf{N}^{+}\right)$；（2）$\displaystyle x^{y}+y^{x}>1,(x, y>0)$ 。
（2）证明：$\displaystyle y x^{y}(1-x)<\frac{1}{\mathrm{e}},(0<x<1,0<y<+\infty)$ ．

20．设 $\displaystyle 0<x<y<\pi$ ，试证：$\displaystyle y \sin y+2 \cos y+\pi y>x \sin x+2 \cos x+\pi x$ 。

21．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上二次可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0$ ．证明：对任意两点 $\displaystyle x_{1}, x_{2} \in(a, b)$ 及任意正数 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}=1\right)$ 有不等式 $\displaystyle f\left(\lambda_{1} x_{1}+\lambda_{2} x_{2}\right)<\lambda_{1} f\left(x_{1}\right)+\lambda_{2} f\left(x_{2}\right)$ ，并说明其几何意义。重庆大学 2001，东北师大 2000 ，北京工大 2010 ，天津大学，映西师大，西安电子科技 2002，合肥工大，广西大学，东南大学；$\displaystyle \lambda_{1}=\lambda_{2}=2^{-1}$ ：山东大学 2002，重庆大学 2005，昆明理工 2007／2012）

22．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上二次可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0$ ．证明：
（1）对 $\displaystyle \forall x, x_{0} \in[a, b], f(x) \geqslant f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)$ ；
（2）对任意点 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in[a, b]$ 及 $\displaystyle k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{n}=1, k_{i}>0, i=1,2, \cdots, n$ 有

$$
f\left(\sum_{i=1}^{n} k_{i} x_{i}\right)<\sum_{i=1}^{n} k_{i} f\left(x_{i}\right) \text {. }
$$

（3）对任意点 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in[a, b]$ 有不等式 $\displaystyle f\left(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} x_{k}\right) \leqslant \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(x_{k}\right)$ 。（四川大学 2002，北京工大 2010，南京信息工程大学2006，中南大学2010（ $\displaystyle n=3)$ ）

23．证明下列不等式．
（1）$\displaystyle \frac{x^{n}+y^{n}}{2} \geqslant\left(\frac{x+y}{2}\right)^{n}, x \geqslant 0, y \geqslant 0, n \geqslant 1$ ．
（2） $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{a+b}{2}} \leqslant \frac{\mathrm{e}^{a}+\mathrm{e}^{b}}{2}, \forall a, b \in \mathbf{R}$ ．

24．若函数 $\displaystyle F(x)$ 在区间 $\displaystyle (a, b)$ 上恒有 $\displaystyle F^{\prime \prime}(x)>0, p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{n}$ 为 $\displaystyle n$ 个正数．证明：对任意 $\displaystyle n$ 个数 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in(a, b)$ 有不等式 $\displaystyle F\left(\frac{p_{1} x_{1}+p_{2} x_{2}+\cdots+p_{n} x_{n}}{p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}}\right) \leqslant \frac{p_{1} F\left(x_{1}\right)+p_{2} F\left(x_{2}\right)+\cdots+p_{n} F\left(x_{n}\right)}{p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}}$ 。}

25．考察函数 $\displaystyle f(x)=x \ln x,(x>0)$ 的凸性，并由此证明下列不等式。
（1）$\displaystyle a^{a} b^{b} c^{c} \geqslant(a b c)^{\frac{a+b+c}{3}},(a>0, b>0, c>0)$ ，给出等号成立的条件。
（2）$\displaystyle a^{a} b^{b} \geqslant(a b)^{\frac{a+b}{2}},(a>0, b>0)$ 或 $\displaystyle a \ln a+b \ln b>(a+b) \ln \frac{a+b}{2}$ 。

26．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, c]$ 上可微，$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 递减且 $\displaystyle f(0)=0$ ．证明：对于 $\displaystyle 0 \leqslant a \leqslant b \leqslant a+b \leqslant c$ ， $\displaystyle f(a+b) \leqslant f(a)+f(b)$ ．
（2）设 $\displaystyle a>0, b>0$ 。求证：当 $\displaystyle 0<p<1$ 时，$\displaystyle (a+b)^{p}<a^{p}+b^{p}$ ；当 $\displaystyle p>1$ 时，$\displaystyle (a+b)^{p}<2^{p-1}\left(a^{p}+b^{p}\right)$ ．

27．设 $\displaystyle a>0, b>0$ ，证明不等式 $\displaystyle \frac{a^{3}}{x^{2}}+\frac{b^{3}}{(1-x)^{2}} \geqslant(a+b)^{3},(0<x<1)$ ．

28．证明下列结论．
（1）设 函 数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导，$\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)>1$ 。证明：存 在 $\displaystyle \delta>0$ 使 得 $\displaystyle f(x)>x, x \in(0, \delta)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上二次可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1$ ，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0$ 。试证明：$\displaystyle f(x) \geqslant x, \forall x \in \mathbf{R}$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 二阶连续可微，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1, f^{\prime \prime}(x)<0, \forall x \in[0,1]$ ．证明 $\displaystyle f(x) \geqslant x, \forall x \in[0,1]$ ．

29．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，$\displaystyle f^{\prime}(x)>g^{\prime}(x), x \in(a, b), f(a)>g(a)$ ．证明：$\displaystyle f(x)>g(x), x \in[a, b]$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x), g(x)$ 都 是 可 微 函 数，且 当 $\displaystyle x \geqslant a$ 时，$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant g^{\prime}(x)$ 。则 当 $\displaystyle x \geqslant a$ 时， $\displaystyle |f(x)-f(a)| \leqslant g(x)-g(a)$ ．

30．设在 $\displaystyle [a, b]$ 上，$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \geqslant\left|g^{\prime}(x)\right|, f^{\prime}(x) \neq 0$ ．证明：
（1）$\displaystyle |\Delta f(x)| \geqslant|\Delta g(x)|$ ，且在 $\displaystyle \left(\frac{1}{2}, x\right)$ 上 $\displaystyle |\Delta \arctan x| \leqslant \Delta \ln \left(1+x^{2}\right)$ ；
（2）在 $\displaystyle \left[\frac{1}{2}, 1\right] \mathrm{t} \arctan x-\ln \left(1+x^{2}\right) \geqslant \frac{\pi}{4}-\ln 2$ ．

31．证明下列不等式．
（1）$\displaystyle \frac{2}{3} n \sqrt{n} \leqslant \sum_{k=1}^{n} \sqrt{k}<\left(\frac{2}{3} n+\frac{1}{2}\right) \sqrt{n}$ ．
（2） $\displaystyle 2 \sqrt{n+1}-2 \leqslant \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}<2 \sqrt{n}-1$ ．
（3）对任何正整数 $\displaystyle n \geqslant 2, \frac{1}{2} \leqslant \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}-\ln n<1$ ．
（4）若 $\displaystyle \lambda=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$ ，证明： $\displaystyle \mathrm{e}^{\lambda}>n+1$ ．
（5） $\displaystyle 0<\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}-\ln (n+1) \leqslant \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}}<1$ 。
（6） $\displaystyle 2<\mathrm{e}<3$ ．
其中 $\displaystyle n$ 为正整数。

32．证明下列命题．
（1）证明：集合 $\displaystyle A=\left\{\alpha \mid \forall x>0,\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+\alpha}>\mathrm{e}\right\}$ 有最小值，并求最小值．
（2）对任意的 $\displaystyle n=1,2,3, \cdots$ ，求能使不等式 $\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+\alpha} \leqslant \mathrm{e} \leqslant\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+\beta}$ 成立的 $\displaystyle \alpha$ 最大值与 $\displaystyle \beta$ 最小值．
（3）证明对任何自然数 $\displaystyle n$ 有 $\displaystyle 0<\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}<\frac{3}{n}$ ．

33．设 $\displaystyle f(x)=a_{1} \sin x+a_{2} \sin (2 x)+\cdots+a_{n} \sin (n x)$ ，且 $\displaystyle |f(x)| \leqslant|\sin x|, a_{i}(i=1,2, \cdots, n)$ 为实常数。求证：$\displaystyle \left|a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}\right| \leqslant 1$ ．

34．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 有二阶导数，且 $\displaystyle f(x) \leqslant \frac{1}{2}(f(x+h)+f(x-h))$ ．试证：$\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ．
（2）设 函 数 $\displaystyle f(x) \in C^{2}(\mathbf{R})$ ，且 $\displaystyle f(x+h)+f(x-h)-2 f(x) \leqslant 0, x \in \mathbf{R}, \forall h>0$ ．证 明 $\displaystyle \forall x \in \mathbf{R}$ ， $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \leqslant 0$ ．

35．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上有二阶导数，$\displaystyle f(0) \geqslant 0, f^{\prime}(0) \geqslant 0$ ，且满足 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant f(x)$ ．求证：$\displaystyle f(x) \geqslant f(0)+f^{\prime}(0) x,(x \in[0,+\infty))$.

36．设 $\displaystyle x>-1$ ，可微 函 数 $\displaystyle f(x)$ 满 足 $\displaystyle f^{\prime}(x)+f(x)-\frac{1}{1+x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=0, f(0)=1$ ．求 证 $\displaystyle \mathrm{e}^{-x} \leqslant f(x)<1,(x \geqslant 0)$ ．